用质量为M的铁锤沿水平方向将质量为m、长为l的铁钉敲入木板，铁锤每次以相同的速度v0击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离，在每次受击进入木板的过程中，钉

题文

用质量为M的铁锤沿水平方向将质量为m、长为l的铁钉敲入木板，铁锤每次以相同的速度v₀击钉，随即与钉一起运动并使钉进入木板一定距离，在每次受击进入木板的过程中，钉所受的平均阻力为前一次受击进入木板过程所受平均阻力的k倍（k>1).
（1）若敲过三次后钉恰好全部进入木板，求第一次进入木板过程中钉所受到的平均阻力；
（2）若第一次敲击使钉进入木板深度为l₁，问至少敲击多少次才能使钉全部进入木板？并就你的解答讨论要将钉全部敲入木板，l₁必须满足的条件.

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）


(2)n=

,n为非整数，其取整加1；若恰为整数，则不加1.l₁>(1-

)l

解析

（1）铁锤每次击钉的短暂过程动量守恒，则有Mv₀="(M+m)v              " ①
其一起运动的初动能
E_k=

(M+m)v²=

·

                                              ②
设第一次进入木板过程中钉所受阻力为F，则第二次、第三次的阻力依次为kF、k²F，三次敲击后进入木板的深度依次为l₁、l₂和l₃.根据动能定理，有E_k=Fl₁=kFl₂=k²Fl₃       ③
l₂=

l₁,l₃=

l₁
l₁+l₂+l₃="l                                                                " ④
F=

=

·

·(1+

+

)=

.                    ⑤
（2）设敲n次，钉全部进入木板，同理可得E_k=Fl₁=kFl₂=…=k^n-1Fl_n
l₁(1+

+

+…+

)="l                                                 " ⑥


=1+

+

+…+

=

                                          ⑦
n=

                                                       ⑧
若上式右边不是整数，n应为其取整加1；若恰为整数，则不加1.
⑦式右边随n增大而增大，但总是小于

，因而当l₁太小时，无论多大的n也不能使⑦式成立，故要使钉能全部钉入木板，应有

<

,即l₁>(1-

)l.           ⑨

考点

据考高分专家说，试题“用质量为M的铁锤沿水平方向将质量为m、长.....”主要考查你对 [动量守恒定律 ]考点的理解。

动量守恒定律

动量守恒定律：
1、内容：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。
2、表达式：m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁'+m₂v₂'。
3、动量守恒定律成立的条件：
①系统不受外力或系统所受外力的合力为零；
②系统所受的外力的合力虽不为零，但系统外力比内力小得多，如碰撞问题中的摩擦力，爆炸过程中的重力等外力比起相互作用的内力来小得多，可以忽略不计；
③系统所受外力的合力虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系统的总动量的分量保持不变。
4、动量守恒的速度具有“四性”：
①矢量性；②瞬时性；③相对性；④普适性。

动量守恒定律与机械能守恒定律的比较：

系统动量守恒的判断方法:

方法一：南动量守恒的条件判断动量守恒的步骤如下：
(1)明确系统由哪几部分组成。
(2)对系统中各物体进行受力分析，分清哪些是内力，哪些是外力。
(3)看所有外力的合力是否为零，或内力是否远大于外力，从而判断系统的动量是否守恒。
方法二：南系统动量变化情况判断动量守恒方法如下：
(1)明确初始状态系统的总动量是多少。
(2)对系统内的物体进行受力分析、运动分析，确定每一个物体的动量变化情况。
(3)确定系统动量变化情况，进而判定系统的动量是否守恒。