题文
已知函数F(x)=3x+12x-1，(x≠12)．（Ⅰ）证明：F（x）+F（1-x）=3，并求F(12009)+F(22009)+…+F(20082009)；
（Ⅱ）．已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，且SnTn=F(n)．当m＞n时，比较ambm与anbn的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，已知a1=2，数列{bn}的公差为d=2．探究在数列{an}与{bn}中是否有相等的项，若有，求出这些相等项由小到大排列后得到的数列{cn}的通项公式；若没有，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）因为F(x)+F(1-x)=3x+12x-1+3(1-x)+12(1-x)-1=3（2分）所以设S=F(12009)+F(22009)++F(20082009)；（1）
S=F(20082009)+F(20072009)++F(12009)（2）
（1）+（2）得：2S={F(12009)+F(20082009)}+{F(22009)+F(20072009)}++{F(20082009)+F(12009)}
=3×2008=6024，
所以S=3012（5分）
（Ⅱ）因为S2n-1=(a1+a2n-1)(2n-1)2=(an+an)(2n-1)2=(2n-1)an
所以an=S2n-12n-1；同理bn=T2n-12n-1．（7分）
所以anbn=S2n-1T2n-1；ambm=S2n-1T2n-1
所以当m＞n≥1时，
ambm-anbn=S2m-1T2m-1-S2n-1T2n-1=3(2m-1)+12(2m-1)-1-3(2n-1)+12(2n-1)-1
=6m-24m-3-6n-24n-3=(6m-2)(4n-3)-(6n-2)(4m-3)(4m-3)(4n-3)
=10(n-m)(4m-3)(4n-3)＜0，∴ambm＜anbn（10分）
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，当a1=2，d=2时
SnTn=2n+n(n-1)d12nb1+n(n-1)•22=d1n-d1+42n-2+2b1=3n+12n-1
所以{-2+2b1=-1
d1=3
d1=3
所以an=2+(n-1)×3=3n-1；bn=12+(n-1)×2=2n-32（12分）
假若存在数列{an}中的第n项与数列{bn}中的第k项相等，
即an=bk⇒3n-1=2k-32⇒n=4k-16
因为4k-1为奇数，6为偶数，所以n=4k-16不是整数，
所以在数列{an}与{bn}中没有相等的项．（14分）
解析
3x+12x-1考点
据考高分专家说，试题“已知函数F(x)=3x+12x-1，(x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
