设函数f=2，g=x，x∈R，a为实常数．若a＞0，设F(x)=f(x)g(x)，x≠0，用函数单调性的定义证明：函数F在区间

题文

设函数f（x）=（x-a）²，g（x）=x，x∈R，a为实常数．
（1）若a＞0，设F(x)=f(x)g(x)，x≠0，用函数单调性的定义证明：函数F（x）在区间[a，+∞）上是增函数；
（2）设关于x的方程f（x）=|g（x）|在R上恰好有三个不相等的实数解，求a的值所组成的集合． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）F(x)=x2-2ax+a2x=x+a2x-2a，任取x₁，x₂∈[a，+∞），且x₁＜x₂，
则F(x2)-F(x1)=x2-x1+a2(1x2-1x1)=(x2-x1)•x1x2-a2x1x2，…（3分）
因为 a＞0，x₁≥a，x₂≥a且x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞a²，…（4分）
所以F（x₂）-F（x₁）＞0，所以函数F（x）在区间[a，+∞）上是增函数．…（6分）
（2）原方程为（x-a）²=|x|，
①当a=0时，原方程变为x²=|x|，有-1，0，1三个解；…（8分）
②当a＜0时，函数y=（x-a）²与y=|x|的图象在x＜0时有两个交点，所以原方程在x＜0时有两个不相等的实数解，要使原方程在x＞0时恰有一个解，当且仅当函数y=（x-a）²与y=|x|的图象在x＞0时有且仅有一个公共点，即方程（x-a）²=x的判别式等于0，即（2a+1）²-4a²=0，解得a=-14；…（10分）
③同理，当a＞0时，原方程在x＞0时有两个不相等的实数解，要原方程在x＜0时恰有一个解，当且仅当方程（x-a）²=-x的判别式等于0，即（2a-1）²-4a²=0，
解得a=14．…（12分）
综上，a的值所组成的集合为{-14，0，14}．…（14分）

解析

x2-2ax+a2x

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=（x-a）2，g（x）=.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。