题文
已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x2+2x+m（1）求证：函数f（x）-g（x）必有零点
（2）设函数G（x）=f（x）-g（x）-1
①若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；
②是否存在整数a，b，使得a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
证明：（1）f（x）-g（x）=-x2+（m-2）x+3-m．令f（x）-g（x）=0．
则△=（m-2）2-4（m-3）=m2-8m+16=（m-4）2≥0恒成立．
所以方程f（x）-g（x）=0有解．
所以函数f（x）-g（x）必有零点．
（2）①G（x）=f（x）-g（x）-1=-x2+（m-2）x+2-m．
①令G（x）=0，△=（m-2）2-4（m-2）=（m-2）（m-6）．
当△≤0，即2≤m≤6时，G（x）=-x2+（m-2）x+2-m≤0恒成立，
所以|G（x）|=x2-（m-2）x+m-2．
因为|G（x）|在[-1，0]上是减函数，所以m-22≥0．解得m≥2．
所以2≤m≤6．
当△＞0，即m＜2或m＞6时，|G（x）|=|x2-（m-2）x+m-2|．
因为|G（x）|在[-1，0]上是减函数，
所以方程x2-（m-2）x+m-2=0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零
且x=m-22≤-1．
所以m-2＞0m-22＞0或m-2＜0m-22≤-1
解得m＞2或m≤0．
所以m≤0或m＞6．
综上可得，实数m的取值范围为（-∞，0]∪[2，+∞）．
②因为a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，
所以G(a)=aG(b)=ba≤4(2-m)+(m-2)24≤b
由-a2+(m-2)a+2-m=a-b2+(m-2)b+2-m=b
消去m，得ab-2a-b=0，显然b≠2．
所以a=bb-2=1+2b-2．
因为a，b均为整数，所以b-2=±1或b-2=±2．
解得a=3b=3或a=-1b=1或a=2b=4或a=0b=0因为a＜b，且a≤4(2-m)+(m-2)24≤b
所以a=-1b=1或a=2b=4
解析
m-22考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
