题文
已知函数f(x)=aa2-1(ax-a-x)，其中a＞0且a≠1．（1）分别判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；
（2）比较f（1）-1与f（2）-2、f（2）-2与f（3）-3的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明；
（3）比较f(1)1与f(2)2、f(2)2与f(3)3的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f/(x)=aa2-1(ax+a-x)lna，若0＜a＜1，则aa2-1＜0，lna＜0，所以f/（x）＞0；
若a＞1，则aa2-1＞0，lna＞0，所以f/（x）＞0，
因此，任意a＞0且a≠1，都有f/（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上的单调递增．
（2）直接计算知f（1）-1=0，f（2）-2=a+a-1-2，f（3）-3=a2+a-2-2，
根据基本不等式a+a-1-2＞0，所以f（2）-2＞f（1）-1，
又因为(a2+a-2-2)-(a+a-1-2)=[(a+a-1)2-(a-a-1)2]=(a-a-1)2(a+a-1+1)=1a(a-1)2(a+a-1+1)＞0，
所以f（3）-3＞f（2）-2．
假设∀x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
记g（x）=[f（x+1）-（x+1）]-[f（x）-x]aa2-1[(ax+1-a-x-1)-(ax-a-x)]-1=ax+1+a-xa+1-1，g/(x)=ax+1-a-xa+1lna．与（1）类似地讨论知，对∀x＞0和∀a＞0且a≠1都有g/（x）＞0，g（x）在[0，+∞）上的单调递增，g（0）=0，
所以g（x）＞g（0）=0，即∀x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
（3）f(1)1=1，f(2)2=12(a+a-1)，f(3)3=a2+1+a-23，
根据基本不等式f(2)2=12(a+a-1)＞1=f(1)1，f(3)3-f(2)2＞f(3)3-[f(2)2]2=(a-a-1)212＞0，
所以f(3)3＞f(2)2＞f(1)1．
假设∀x＞0，f(x+1)x+1＞f(x)x．
记g(x)=f(x)x，x＞0，g/(x)=xf/(x)-f(x)x2ax2×x(ax+a-x)lna-(ax-a-x)a2-1，
设h(x)=x(ax+a-x)lna-(ax-a-x)a2-1，
则h（0）=0且h/(x)=x(ax-a-x)ln2aa2-1，
类似（1）的讨论知h/(x)=x(ax-a-x)ln2aa2-1＞0，
从而h（x）＞h（0）=0，g/（x）＞0，g（x）在R+上单调增加，
所以∀x＞0，f(x+1)x+1＞f(x)x．
解析
aa2-1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=aa2-1(ax-a-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
