已知函数f=2x2+bx+cx2+1的值域是[1，3]，求b、c的值；判断函数F=lgf，当x∈[-1，1]时的单调性，

题文

已知函数f（x）=2x2+bx+cx2+1（b＜0）的值域是[1，3]，
（1）求b、c的值；
（2）判断函数F（x）=lgf（x），当x∈[-1，1]时的单调性，并证明你的结论；
（3）若t∈R，求证：lg75≤F（|t-16|-|t+16|）≤lg135． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解；（1）设y=2x2+bx+cx2+1，则（y-2）x²-bx+y-c=0．  ①
∵x∈R，∴①的判别式△≥0，即 b²-4（y-2）（y-c）≥0，即4y²-4（2+c）y+8c-b²≤0．  ②
由条件知，不等式②的解集是[1，3]，
∴1，3是方程4y²-4（2+c）y+8c+b²=0的两根，故有 1+3=2+c1×3=8c+b24，
∴c=2，b=-2，或b=2（舍），即f（x）=2x2-2x+2x2+1=2-2xx2+1．
（2）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₂＞x₁，则有 x₂-x₁＞0，且（x₂-x₁）（1-x₁x₂）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=-2x21+x22-(-2x11+x12)=2(x2-x1)(x1x2 -1)(1+x12)(1+x22)＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），lgf（x₂）＜lgf（x₁），即F（x₂）＜F（x₁），∴F（x）为减函数．
（3）记 u=|t-16| - |t+16|，则可得 |u| ≤ |(t-16)-(t+16)| =13，即-13≤u≤13，
根据F（x）的单调性知，F（13）≤F（u）≤F（-13）恒成立．
又f（13）=2-2•13(13)2+1=75，f（-13）=2-2•(-13)(-13)2+1=135，
∴lg75≤F（|t-16|-|t+16|）≤lg135对任意实数t 成立．

解析

2x2+bx+cx2+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x2+bx+cx2+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。