已知二次函数f=ax2+|a-1|x+a．函数f在上单调递增，求实数a的取值范围；关于x不等式f(x)x≥2在x∈[1，2

题文

已知二次函数f（x）=ax²+|a-1|x+a．
（1）函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）关于x不等式f(x)x≥2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）函数g（x）=f（x）+1-(a-1)x2x在（2，3）上是增函数，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

显然a≠0（1）若a＞0，f（x）的增区间为-|a-1|2a，+∞），而函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，不符合题意；
若a＜0，则f（x）=ax²+（1-a）x+a，其增区间为（-∞，-1-a2a）．
又f（x）在（-∞，-1）上单调递增，所以有-1-a2a≥-1，解得a≤13，
故a＜0，所以实数a的取值范围为：a＜0．
（2）f(x)x≥2即ax+ax+|a-1|≥2，令g（x）=ax+ax+|a-1|，
则f(x)x≥2在x∈[1，2]上恒成立，等价于g_min（x）≥2，
g′（x）=a-ax2=a(x+1)(x-1)x2，
①当a＞0时，x∈[1，2]，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]上递增，
g_min（x）=g（1）=2a+|a-1|≥2，解得a≥1；
②当a＜0时，g′（x）≤0，此时g（x）在[1，2]上递减，
g_min（x）=g（2）=2a+a2+|a-1|=32a+1≥2，解得a≥23，（舍）
综上，实数a的取值范围为a≥1．
（3）g（x）=ax²+1x+a在（2，3）上是增函数，
设2＜x₁＜x₂＜3，则g（x₁）＜g（x₂），
ax12+1x1+a＜ax22+1x2+a，a（x₁+x₂）（x₁-x₂）＜x1-x2x1x2，
因为2＜x₁＜x₂＜3，所以a＞1x1x2(x1+x2)，
而1x1x2(x1+x2)∈（154，116），
所以a≥116．

解析

|a-1|2a

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+|a-1|.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。