设f是定义在上的函数，当x＞1时，f＜0且有f=f+f；求f的值；求证：0＜x＜1时，f＞0

题文

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）求f（1）的值；
（2）求证：0＜x＜1时，f（x）＞0；
（3）判断f（x）的单调性并证明之；
（4）若f（12）=2，求不等式f（x）+f（2-x）＜2的解集． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0，
令x=-x、y=1得：f（-x）=f（x）+f（1）=f（x）
∴f（x）为偶函数；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
证明如下：设x₁＞x₂＞0，则x1x2＞1，
∵当x＞1时f（x）＜0，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）=f（x₂•x1x2）=f（x₂）+f（x1x2），
则f（x1x2）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）为单调减函数；
（3）由（1）知f（1）=0，
由（2）知，f（x）在（0，+∞）为单调减函数；
∴0＜x＜1时，f（x）＞f（1）=0，
（4）∵f（xy）=f（x）+f（y），且f（12）=2
∴f（x）+f（2-x）＜2化为：f[x（2-x）]＜f（12），
∵f（x）在（0，+∞）为单调减函数，
∴x＞02-x＞0x(2-x)＞12，解得0＜x＜1+22，
故所求的解集为：（0，1+22）．

解析

x1x2

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。