已知函数f的定义域D=∪，且对于任意x1，x2∈D，均有f=f+f，且当x＞1时，f＞0；（1

题文

已知函数f（x）的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），且对于任意x₁，x₂∈D，均有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0；
（1）求f（1）与f（-1）的值；             
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（4）若f（4）=1，解不等式f（3x+1）≤2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x₁=x₂=1，代入f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）可得f（1）=0；
令x₁=x₂=-1，则有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）-f（1）=0，解得：f（-1）=0．
（2）令x₁=x，x₂=-1，则有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），即f（-x）=f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
（3）设x₁，x₂∈（0，+∞），并且x₁＜x₂，则有x2x1＞1，f（x2x1）＞0，
所以f（x₂）=f(x2x1•x1)=f(x2x1)+f(x1)＞f(x1)，
所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（4）由题意可得：f（16）=f（4×4）=2f（4）=2，
所以由f（3x+1）≤2可得：f（3x+1）≤f（16），
因为函数f（x）为偶函数，
所以有f（-x）=f（x）=f（|x|），即f（|3x+1|）≤f（16），
又因为函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以|3x+1|≤16，并且3x+1≠0，
解得：[-173，-13)∪(-13，5]．

解析

x2x1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域D=（-∞，0）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。