已知函数f(x)=x+2x，x≠0用定义证明函数为奇函数；用定义证明函数在上单调递减，在上单调递增；求函数在[1，4]上

题文

已知函数f(x)=x+2x，x≠0
（1）用定义证明函数为奇函数；
（2）用定义证明函数在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；
（3）求函数在[1，4]上的最大值和最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵函数的定义域关于原点对称，且函数f(x)=x+2x，x≠0 满足
∴对任意的非零实数x，都有 f（-x）=-x+2-x=-（x+2x）=-f（x），
函数f(x)=x+2x，x≠0是奇函数． （5分）
（2）设 0＜x₁＜x₂＜2，则 f（x₁）-f（x₂）=x1+2x1-（x2+2x2 ）
=（x₁-x₂）-2(x1-x2)x1•x2=（x₁-x₂） （1-2x1•x2 ）．
由0＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1-2x1•x2 ）＜0，
∴（x₁-x₂） （1-2x1•x2 ）＞0，f（x₁）＞f（x₂），故函数在（0，2）上单调递减．
 设 2＜x₁＜x₂，同理可得 f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂） （1-2x1•x2 ），
由 2＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1-2x1•x2 ）＞0，
∴（x₁-x₂） （1-2x1•x2 ）＜0，f（x₁）＜f（x₂），故函数在（2，+∞）上单调递增．（10分）
（3）由于函数在（1，2）上单调递减，在[2，4]上单调递增，
故当x=2时，函数有最小值等于f(2)=2+ 22=22．
又 f（1）=1+2=3，f（4）=4+24=92，故函数在[1，4]上的最大值为92．（14分）

解析

2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x+2x，x≠0（1）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。