已知函数f(x)=x+1x：判断并证明函数f的奇偶性；判断并证明f在区间上的单调性．

题文

已知函数f(x)=x+1x：
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在区间（1，+∞）上的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f(x)=x+1x为奇函数，理由如下：
由已知函数的解析式f(x)=x+1x可得函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称
又∵f(-x)=-x+1-x=-(x+1x)=-f（x）
∴函数f(x)=x+1x为奇函数
（2）f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，理由如下：
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞1，x₁•x₂-1＞0，
又∵f（x₁）-f（x₂）=x1+1x1-（x2+1x2）=x1-x2+1x1-1x2=x1-x2-x1-x2x1•x2=(x1-x2)•(1-1x1•x2)=(x1-x2)•x1•x2-1x1•x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x+1x：（1）判断并.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。