记定义在[-1，1]上的函数f=x2+px+q的最大值与最小值分别为M，m．又记h=M-m．当0≤p≤2时，求M、m（用p，q表

题文

记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x²+px+q（p，q∈R）的最大值与最小值分别为M，m．又记h（p）=M-m．
（Ⅰ）当0≤p≤2时，求M、m（用p，q表示），并证明h（p）≥1；
（Ⅱ）写出h（p）的解析式（不必写出求解过程）；
（Ⅲ）在所有形如题设的函数f（x）中，求出这样的f（x），使得|f（x）|的最大值为最小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）0≤p≤2⇒-1≤-p2≤0，又f（x）图象开口向上，
∴M=f(1)=1+p+q，m=f(-p2)=q-p24
∴h(p)=M-m=14(p+2)2≥1（4分）
（Ⅱ）h(p)=-2p  (p＜-2)14(p-2)2，  (-2≤p＜0)14(p+2)2，  (0≤p≤2)2p，，    (p＞2)
（Ⅲ）由（Ⅱ）知h(p)=M-m=-2p＞4  (p＜-2)14(p-2)2＞1，  (-2≤p＜0)14(p+2)2≥1，  (0≤p≤2)2p＞4，，    (p＞2)，∴M-m≥1．
∵在[-1，1]上，总有|f(x)|max≥M-m2，当且仅当M=-m时取”=”；
又，M-m2≥12，当且仅当p=0时取“=”，
∴当M-m2=12时的f（x）符合条件．
此时，p=0，M=1+q，m=q．由M=-m得1+q=-q．∴q=-12
即所求函数为：f（x）=x2-12．（13分）

解析

p2

考点

据考高分专家说，试题“记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。