下列说法中：①若函数f=ax2+x+2是偶函数，则实数b=2；②f表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小

题文

下列说法中：
①若函数f（x）=ax²+（2a+b）x+2（x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；
②f（x）表示-2x+2与-2x²+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为1；
③已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（xy）=xf（y）+yf（x），则f（x）是奇函数；
④设lg2=a，lg3=b那么可以得到log56=a+b1-a；
⑤函数f(x)=log2(3+2x-x2)的值域是（0，2），其中正确说法的序号是______（注：把你认为是正确的序号都填上）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

对于①，∵f（x）=ax²+（2a+b）x+2是二次函数，且图象关于直线x=-2a+b2a对称，
∴2a-1+a+4=0且-2a+b2a=0，解之得a=-1，b=2，故①正确；
对于②，f（x）=-2x+2   0≤x≤3-2x2+4x+2   x＜0或x＞3，
可得当x∈（∞，0）时，函数f（x）为增函数；当x∈（0，3）时，函数f（x）为减函数；
当x∈（3，+∞）时，函数f（x）为减函数
∴当x=0时，函数f（x）的最大值为f（0）=2，故②不正确；
对于③，对任意的x，y∈R都满足f（xy）=xf（y）+yf（x），取x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0
再取x=y=-1，得f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，所以f（-1）=0，
最后取y=-1，得f（-x）=xf（-1）-f（x），所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．故③正确；
对于④，lg2=a，lg3=b，则log₅6=lg6lg5=lg2+lg31-lg2=a+b1-a，故④正确；
对于⑤，因为0＜3+2x-x²=-（x-1）²+4≤4，
所以f(x)=log2(3+2x-x2)≤log₂4=2，故函数函数f(x)=log2(3+2x-x2)的值域是（-∞，2），故⑤不正确．
故答案为：①③④

解析

2a+b2a

考点

据考高分专家说，试题“下列说法中：①若函数f（x）=ax2+（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。