已知函数f=b-3x3x+1+a是定义在R上的奇函数．求a，b的值．判断函数f的单调性并证明；若对任意t∈R，m∈[-1，1]，f

题文

已知函数f（x）=b-3x3x+1+a是定义在R上的奇函数．
（1）求a，b的值．（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）若对任意t∈R，m∈[-1，1]，f（t²-2mt）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因f（x）=b-3x3x+1+a是定义在R上的奇函数，
则有f（0）=0，即b-13+a=0，解可得b=1；
又f（1）=-f（-1），即1-39+a=-1-131+a，解可得a=3．
（2）由（1）可得，f（x）=1-3x3x+1+3=13（23x+1-1）
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=13（23x1+1-23x2+1）=23（3x2-3x1(3x1+1)(3x2+1)），
分析易得3x2＞3x1＞0，
则f（x₁）-f（x₂）＞0，
故f（x）是减函数；
（3）f（x）是奇函数，所以f（t²-2mt）＜f（k-2t²）
又由（1）得，f（x）=1-3x3x+1+3=13（23x+1-1），且f（x）为减函数，
则t²-2mt＞k-2t²，即3t²-2mt-k＞0对任意的t∈R恒成立，
有△=4m²+12k＜0，即-3k＞m2对于m∈[-1，1]恒成立，
得-3k＞1，即k＜-13；
故k的取值范围是k＜-13．

解析

b-3x3x+1+a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=b-3x3x+1+a是.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。