设函数f在上是奇函数，且对任意x，y都有f-f=f，当x＜0时，f＞0，f=-2求f的值；

题文

设函数f（x）在（-3，3）上是奇函数，且对任意x，y都有f（x）-f（y）=f（x-y），当x＜0时，f（x）＞0，f（1）=-2
（1）求f（2）的值；
（2）判断f（x）的单调性，并证明；
（3）若函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x），求不等式g（x）≤0的解集． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=2，y=1，
由f（x）-f（y）=f（x-y），得f（2）-f（1）=f（2-1）=f（1），
又f（1）=-2，解得f（2）=-4．
（2）f（x）在（-3，3）上是减函数．
证明：在（-3，3）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
令x=x₁，y=x₂，
由f（x）-f（y）=f（x-y），得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），
∵当x＜0时，f（x）＞0，且x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-3，3）上是减函数．
（3）由函数f（x）在（-3，3）上是奇函数，
得g（x）=f（x-1）+f（3-2x）=f（x-1）-f（2x-3），
g（x）≤0的解集即是f（x-1）-f（2x-3）≤0的解集．
f（x-1）-f（2x-3）≤0即是f（x-1）≤f（2x-3），
由（2）知奇函数f（x） 在（-3，3）上是减函数，
则有x-1≥2x-3-3＜x-1＜3-3＜2x-3＜3，解得0＜x≤2．
∴不等式g（x）≤0的解集为{x|0＜x≤2}．

解析

x-1≥2x-3-3＜x-1＜3-3＜2x-3＜3

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）在（-3，3）上是奇函数，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。