题文
设函数f（x）=x+px（p＞0）．（1）若P=4，判断f（x）在区间（0，2）的单调性，并加以证明；
（2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，求实数P的取值范围；
（3）若p=8，方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由p=4知，f（x）=x+4x，f（x）在（0 2）内是减函数．证明：任意设 0＜x1＜x2＜2，
由于f（x1）-f（x2）=（x1+4x1）-（x2+4x2）=-（x2-x1）+4(x2-x1)x1•x2
=（x2-x1）（4x1•x2-1）=（x2-x1）•4-x1•x2x1•x2．
由题设可得 （x2-x1）＞0，0＜x1•x2＜4，∴4-x1•x2x1•x2＞0，
故f（x1）-f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0 2）内是减函数．
（2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，任意设 0＜x1＜x2＜2，
则可得f（x1）-f（x2）=（x2-x1）•p-x1•x2x1•x2＞0．
由题设可得 （x2-x1）＞0，0＜x1•x2＜4，∴p≥4．
（3）由p=8，可得f（x）=x+8x，
由（2）可知f（x）在（0，2）上单调递减，∴f（x）＞f（2）=2+82=6，即 f（x）＞6．
故由方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，可得3a-264＞6，解得a＞90，故a的范围为（90，+∞）．
解析
4x考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x+px（p＞0）．（1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
