已知g=1-x，f[g]=2-x2，求f的解析式；h=f(x)-1x2-a，若h在x∈[-3，-1]上的最大值是-53

题文

已知g（x）=1-x，f[g（x）]=2-x²，
（1）求f（x）的解析式；
（2）h（x）=f(x)-1x2-a，若h（x）在x∈[-3，-1]上的最大值是-53，求a的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设t=g（x）=1-x，则x=1-t，
∴f[g（x）]=2-x²，等价为f（t）=2-（1-t）²=-t²+2t+1，
∴f（x）=-x²+2x+1．
（2）∵h（x）=f(x)-1x2-a，
∴h（x）=f(x)-1x2-a=-x2+2x+1-1x2-a=-x2+2xx2-a=2x-a-1，
∵h（x）=2x-1-a在x∈[-3，-1]单调递减，
∴当x=-3时，函数h（x）取得最大值h（-3）=-23-a-1=-53-a=-53，
即a=0．

解析

f(x)-1x2

考点

据考高分专家说，试题“已知g（x）=1-x，f[g（x）]=2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。