若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，且求函数f(x)的解析式；求函数f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；设函数g(x)

题文

若函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函数，且


（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求函数f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；
（3）设函数g(x)＝，若不等式g(x)·g(2k－x)≥(－k)²在(0，2k)上恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f(x)＝－x³＋x，f(x)_max＝，(0，)]．

解析

解：（1）函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0，
∴f ^/(x)＝3ax²＋c，则


故f(x)＝－x³＋x；………………………………3分


（2）∵f ^/(x)＝－3x²＋1＝－3(x＋)(x－)
∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是
增函数，在[－，]上是减函数，
由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，
如图所示，
当－1＜m＜0时，
f(x)_max＝f(－1)＝0；
当0≤m＜时，f(x)_max＝f(m)＝－m³＋m，
当m≥时，f(x)_max＝f()＝．
故f(x)_max＝．………………8分
（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，则x、y∈R^＋，且2k＝x＋y≥2，
又令t＝xy，则0＜t≤k²，
故函数F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－
＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k²]
当1－4k²≤0时，F(x)无最小值，不合
当1－4k²＞0时，F(x)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增，
且F(k²)＝(－k)²，∴要F(k²)≥(－k)²恒成立，
必须

，
故实数k的取值范围是(0，)]．………………12分

考点

据考高分专家说，试题“若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。