题文
根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． 题型：未知 难度：其他题型答案
证明见解析．解析
本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．证法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且x1
则f (x2) －f (x1) =
= (x1－x2) (
) ——3分
∵ x1
当x1x2<0时，有
= (x1+x2) 2－x1x2>0； ——6分
当x1x2≥0时，有
>0；
∴f (x2)－f (x1)= (x1－x2)(
)<0． ——8分
即 f (x2) < f (x1)，所以，函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分
证法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x1<x2， ——1分
则f (x2)－f (x1)=x
－x
= (x1－x2) (
)． ——3分
∵x1
∵x1，x2不同时为零，∴x
＋x
>0．
又∵x
＋x
>
(x
＋x
)≥|x1x2|≥－x1x2。∴
>0，
∴ f (x2)－f (x1) = (x1－x2) (
)<0． ——8分
即f (x2) < f (x1)．所以，函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分
考点
据考高分专家说，试题“根据函数单调性的定义，证明函数f (x).....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
