已知函数f(x)= (a＞0，且a≠1).(1)判断f(x)的单调性；验证性质f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1)时，并应用该性质求

题文

已知函数f(x)=

（a^x-a^-x） (a＞0，且a≠1).
(1)判断f(x)的单调性；
（2）验证性质f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m²)＜0的实数m的范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)在R上为增函数（2）1＜m＜

解析

（1）设x₁＜x₂,x₁-x₂＜0,1+

＞0.
若a＞1,则

,

 ＞0,
所以f(x₁)-f(x₂)=

＜0，
即f(x₁)＜f(x₂),f(x)在（-∞,+∞）上为增函数；
同理，若0＜a＜1，则

,

＜0,
f(x₁)-f(x₂)=

(1+

)＜0,
即f(x₁)＜f(x₂),f(x)在（-∞,+∞）上为增函数.
综上，f(x)在R上为增函数.
（2）f(x)=

则f(-x)=

,
显然f(-x)=-f(x).f(1-m)+f(1-m²)＜0,
即f(1-m)＜-f(1-m²)

f(1-m)＜f(m²-1),
函数为增函数，且x∈(-1,1)，故解-1＜1-m＜m²-1＜1,可得1＜m＜

.

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=（ax-a-x） (a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。