题文
（1）当
时, 求
的单调区间、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，
；
（3）是否存在实数
，使
的最小值是
，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
的的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；
的极小值为
(3)
解析
（1）
当
时，
， 1分
∴当
时，
，此时
单调递减
当
时，
，此时
单调递增 …………………………………3分
的的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；
的极小值为
………………………………………………4分
（2）由（1）知
在
上的最小值为1， ……………………………………5分
令
，
， ………………………6分
当
时，
，
在
上单调递增 …………………………………7分
∴
w
∴在（1）的条件下，
…………………………………………………8分
(1)假设存在实数
，使
（
）有最小值
，
……………………………………………………9分
①当
时，
，
在
上单调递增，此时
无最小值. …10分
②当
时，
若
，故
在
上单调递减，
若
，故
在
上单调递增.
，得
，满足条件. ……………………………12分
③当
时，
，
在
上单调递减，
（舍去），
所以，此时
无最小值. ……13分
综上，存在实数
，使得当
时
的最小值是
……………………14分
（3）法二：假设存在实数
，使
的最小值是
，
故原问题等价于：不等式
对
恒成立，求“等号”取得时实数a的值.
即不等式
对
恒成立，求“等号”取得时实数a的值.
设
即
，
………………10分
又
……………………………11分
令
当
，
，则
在
单调递增；
当
，
，则
在
单调递减. ……………………13分
故当
时，
取得最大值，其值是
.
故
综上，存在实数
，使得当
时
的最小值是
.……………………14分
考点
据考高分专家说，试题“（1）当时, 求的单调区间、极值；（2）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
