题文
（Ⅰ）当
时，证明函数
只有一个零点；
（Ⅱ）若函数
在区间
上是减函数，求实数
的取值范围 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅱ）
解析
（Ⅰ）当时，
，其定义域是
∴
…………2分
令
，即
，解得
或
．
，∴
舍去．
当
时，
；当
时，
．
∴ 函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减
∴ 当x =1时，函数
取得最大值，其值为
．
当
时，
，即
．
∴ 函数
只有一个零点． ……………………6分
（Ⅱ）显然函数
的定义域为
∴
………7分
①当
时，
在区间
上为增函数，不合题意……8分
② 当
时，
等价于
，即
此时
的单调递减区间为
．
依题意，得
解之得
． ………10分
③ 当
时，
等价于
，即
此时
的单调递减区间为
，
∴
得
综上，实数
的取值范围是
…………12分
法二：
①当
时，
在区间
上为增函数，不合题意……8分
②当
时，要使函数
在区间
上是减函数，只需
在区间
上恒成立，
只要
恒成立，
解得
或
综上，实数
的取值范围是
…………12分
考点
据考高分专家说，试题“（Ⅰ）当时，证明函数只有一个零点；（Ⅱ）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
