题文
已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有![已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211025/91a3c8ce0c374bdb2aa71aadc73a1287.gif "已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，")
（1）判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；
（2）若f(1)=1，且f(x)≤m2－2bm+1对所有x∈[－1，1]，b∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）见解析（2）（－![已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211025/823bf5a82da24d0f4ac18f55f184d167.gif "已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，")
，－2]∪{0}∪[2，+
)
解析
（1）证明：设x1，x2∈[-1，1]，且x1![已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211025/040d0a25e2083b7a4440fcdc31e9fa68.gif "已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，")
∵x1
![已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211025/77ac9106a60bdf023c5fcb8de4043dff.gif "已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，")
即f(x1)< f(x2).故f(x)在[－1，1]上为增函数.
（2）解：∵f(1)=1且f(x )在[－1，1]上为增函数，所以对x∈[－1，1]，有f(x)≤f(1)=1.由题意，对所有的x∈[－1，1]，b∈[－1，1]，有f(x)≤m2－2bm+1恒成立，
所以m2－2bm+1≥1
![已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211025/07551c7f6fb6f9b90d21d35e26fafc55.gif "已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，")
m2－2bm≥0.
记g(b)=－2mb+m2，对所有的b∈[－1，1]，要g(b)≥0恒成立.只需
![已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211025/0e2f76fe1ac08b346afe5a25152e52e7.gif "已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，")
m∈（－
，－2]∪{0}∪[2，+
).
所以实数m的取值范围是：m∈（－
，－2]∪{0}∪[2，+
).
考点
据考高分专家说，试题“ 已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商![已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，](https://www.mshxw.com/file/tupian/20211025/FlraY2WTBYxJWdfybu1zT0CM9toU.png "已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b∈[－1，1]，且a+b≠0时，有判断函数f(x)的的单调性，并给以证明；若f(1)=1，")
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
