题文
（本小题满分14分）已知函数
，
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）对任意正数
，证明：
。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
在
中单调递增，而在
中单调递减。
（2）证明见解析。
解析
（1）当时，
，求得
，
于是当
时，
；而当
时，
。
即
在
中单调递增，而在
中单调递减。
（2）.对任意给定的
，
，由
，
若令
，则
… ① ，而
… ②
（一）、先证
；因为
，
，
，
又由
，得
．
所以
．
（二）、再证
；由①、②式中关于
的对称性，不妨设
．则
（ⅰ）、当
，则
，所以
，因为
，
，此时
．
（ⅱ）、当
…③，由①得 ,
，
，
因为
所以
… ④
同理得
… ⑤ ，于是
… ⑥
今证明
… ⑦, 因为
，
只要证
，即
，也即
，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得
．
综上所述，对任何正数
，皆有
．
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数，．（1）当.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
