已知函数.当a = 0时, 求函数的单调递增区间;若函数在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a的取值范围.

题文

已知函数

（

）.
（1）当a = 0时, 求函数

的单调递增区间;
（2）若函数

在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a的取值范围.  题型：未知 难度：其他题型

答案

,

.

解析

（1）: 当a = 0时, f （x）＝x³－4x²＋5x ,


>0,
所以f （x）的单调递增区间为

,

. 
（2）解: 一方面由题意, 得


 即

;
另一方面当

时,
f （x） = （－2x³＋9x²－12x＋4）a＋x³－4x²＋5x ,
令g（a） = （－2x³＋9x²－12x＋4）a＋x³－4x²＋5x, 则
g（a）≤ max{ g（0）, g（

） }
= max{x³－4x²＋5x ,

（－2x³＋9x²－12x＋4）＋x³－4x²＋5x }
= max{x³－4x²＋5x ,

x²－x＋2 },
f （x） = g（a）
≤ max{x³－4x²＋5x ,

x²－x＋2 },
又

{x³－4x²＋5x}="2,"

{

x²－x＋2}="2," 且f （2）＝2,
所以当

时, f （x）在区间[0,2]上的最大值是2.
综上, 所求a的取值范围是

.       

考点

据考高分专家说，试题“已知函数（）.（1）当a = 0时, 求.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。