题文
已知函数
，满足：①对任意
，都有
；
②对任意n∈N *都有
．
（Ⅰ）试证明：
为
上的单调增函数；
（Ⅱ）求
；
（Ⅲ）令
，试证明：
题型：未知 难度：其他题型
答案
解析
解：（I） 由①知，对任意
，都有
，
由于
，从而
，所以函数
为
上的单调增函数
（II）令
，则
，显然
，否则
，与
矛盾.从而
，而由
,即得
.
又由（I）知
，即
.
于是得
，又
，从而
，即
.
进而由
知，
.
于是
,
,
,
,
,
, 由于
,
而且由（I）知，函数
为单调增函数，因此
.
从而
.
（Ⅲ）
,
，
.
即数列
是以6为首项, 以3为公比的等比数列 .
∴
于是
,显然
,
另一方面
,
从而
.
综上所述,
.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，满足：①对任意，都有；②对任意.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
