题文
(本小题满分14分)已知函数
，(x>0)．
（1）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求
的值 ；
（2）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
（3）
若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为 [a，b]时，值域为 [
ma，mb]，(m≠0)，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（14分）（1）
．
（2）不存在满足条件的实数a，b．
（3）
解析
（14分）解：（1）∵x>0，∴
∴f(x)在（0，1）上为减函数，在
上是增函数．
由0<a<b，且f(a)=f(b)，可得 0<a
1<b和
．即
．
……………………3分
（2）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=
的定义域、值域都是[a，b]，
则a>0． 而
①当
时，
在（0，1）上为减函数．
故
即
解得 a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
②当
时，
在
上是增函数．
故
即
此时a，b
是方程
的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
③当
，
时，由于
，而
，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b． …………………………8分
（3）若存在实数a，b（a
① 当
时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故
．此时得a=b，不符合题意，所以a，b不存在．
② 当
，
时
，由（2）知0在值域内，值域不可能是[m
a，mb]，所以a，b不存在．
故只有
．
∵
在
上是增函数，
∴
即
所以a、b是方程
的两个根．
即关于x的方程
有两个大于或等于1的相异实根．
设这两个根为
、
，则
+
=
，
·
=
．
∴
即
解得
．
故m的取值范围是
． ……………………………14分
考点
据考高分专家说，试题“(本小题满分14分)已知函数，(x>.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
