已知定义域为[0, 1]的函数f同时满足： ①对于任意的x[0, 1]，总有f≥0; ②f＝1; ③若0≤x1≤1, 0

题文

（本小题满分14分）
已知定义域为[0, 1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x

[0, 1]，总有f（x）≥0;
②f（1）＝1; 
③若0≤x₁≤1, 0≤x₂≤1, x₁＋x₂≤1, 则有f（x₁＋x₂） ≥ f（x₁）＋f（x₂）．
（1）试求f（0）的值;
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当x

, n

N_＋时，f（x）<2x． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（0）＝0
（2）f（x）取最大值1．
（3）略

解析

（1）令x₁＝x₂＝0,依条件（3）可得f（0＋0）≥2f（0）,即f（0）≤0
又由条件（1）得f（0）≥0 故f（0）＝0                              …………3分
（2）任取0≤x₁<x₂≤1可知x₂－x₁

（0,1],则              
f（x₂）＝f[（x₂－x₁）＋x₁]≥f（x₂－x₁）＋f（x₁）≥f（x₁）
于是当0≤x≤1时,有f（x）≤f（1）＝1因此当x＝1时,f（x）取最大值1．…………8分
（3）证明：先用数学归纳法证明:当x



（n

N_＋）时,f（x）≤


1⁰当n＝1时,x



，f（x）≤f（1）＝1＝

,不等式成立．
当n＝2时,x

,

<2x≤1,f（2x）≤1,f（2x）≥f（x）＋f（x）＝2f（x）
∴f（x）≤

f（2x）≤

 不等式成立．
2⁰假设当n＝k（k

N_＋,k≥2）时,不等式成立,即x



时，f（x）≤


则当n＝k＋1时,x

,记t＝2x，则t＝2x



, ∴f（t）≤


而f（t）＝f（2x）≥2f（x），∴f（x）≤

f（2x）＝

f（t）≤


因此当n＝k＋1时不等式也成立．
由1⁰,2⁰知,当x



（n

N_＋）时,f（x）≤


又当x



（n

N_＋）时,2x>

, 此时f（x）<2x．
综上所述：当x



（n

N_＋）时,有f（x）<2x． ………… 14分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知定义域为[0, .....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。