已知≤≤1，若函数在区间[1，3]上的最大值为，最小值为，令．求的函数表达式；判断函数在区间[，1]上的单调性，并求出的最小值 .

题文

（本题满分12分）
已知

≤

≤1，若函数

在区间[1，3]上的最大值
为

，最小值为

，令

．
（1）求

的函数表达式；
（2）判断函数

在区间[

，1]上的单调性，并求出

的最小值 . 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）


（2）当

时，

有最小值

解析

解：（1）∵

的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为


∴

有最小值

 .  

                      2分
当2≤

≤3时，

[

有最大值

；  4分
当1≤

<2时，a∈(

有最大值M（a）=f(3)=9a－5;  6分


                                7分
（2）设


则




上是减函数.                            9分
设

 则




上是增函数.

                             11分
∴当

时，

有最小值

．                       12分

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分12分）已知≤≤1，若函数在区.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。