题文
（本题12分）已知集合
是同时满足下列两个性质的函数
组成的集合：
①
在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在
的定义域内存在区间
，使得
在
上的值域是
．
(1)判断函数
是否属于集合
？并说明理由．若是，则请求出区间
；
(2)若函数
，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数
属于集合
，且这个区间是
（2）
解析
解： (1)
的定义域是
，
在
上是单调增函数．
设
在
上的值域是
．由
解得：
故函数
属于集合
，且这个区间是
(2) 设
，则易知
是定义域
上的增函数．
，
存在区间
，满足
，
．
即方程
在
内有两个不等实根．
[法1]：方程
在
内有两个不等实根，令
则其化为:
即
有两个非负的不等实根,
从而有:
；
[法2]：要使方程
在
内有两个不等实根，
即使方程
在
内有两个不等实根．
如图，当直线
经过点
时，
，
当直线
与曲线
相切时，
方程
两边平方，
得
，由
，得
．
因此，利用数形结合得实数
的取值范围是
．
考点
据考高分专家说，试题“（本题12分）已知集合是同时满足下列两个.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
