题文
（本小题满分14分）已知函数
，
．
（Ⅰ）当
时，求函数
的最小值；
（Ⅱ）当
时，讨论函数
的单调性；
（Ⅲ）求证：当
时，对任意的
，且
，有
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（Ⅰ）显然函数的定义域为
，当
．
∴ 当
，
．
∴
在
时取得最小值，其最小值为
．----------------------------- 4分
（Ⅱ）∵
，-----------5分
∴（1）当
时，若
为增函数；
为减函数；
为增函数．
（2）当
时，
为增函数；
为减函数；
为增函数．------- 9分
（Ⅲ）不妨设
，要证明
，即证明：
当
时，函数
．
考查函数
-------------------------------------------------10分
在
上是增函数，----------------------------------------------------12分
对任意
，
所以
，
命题得证----------14分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数 ，．（Ⅰ）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
