已知函数求函数在上的最小值；对一切恒成立，求实数的取值范围；求证：对一切，都有

题文

（本小题满分14分）已知函数


（I）求函数

在



上的最小值；
（II）对一切

恒成立，求实数

的取值范围；
（III）求证：对一切

，都有

题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）f ′（x）＝lnx＋1，当x∈（0，

），f ′（x）＜0，f （x）单调递减，
当x∈（

，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）单调递增．                ……2分
①0＜t＜t＋2＜

，t无解；
②0＜t＜

＜t＋2，即0＜t＜

时，f （x）_min＝f （

）＝－

；
③

≤t＜t＋2，即t≥

时，f （x）在［t，t＋2］上单调递增，f （x）_min＝f （t）＝tlnt；
所以f （x）_min＝

．                                                ……5分
（II）2xlnx≥－x²＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋

，                           ……6分
设h （x）＝2lnx＋x＋

（x＞0），则h′（x）＝

，x∈（0，1），h′（x）＜0，h （x）单调递减，
x∈（1，＋∞），h′（x）＞0，h

（x）单调递增，所以h （x）_min＝h （1）＝4，
因为对一切x∈（0，＋∞），2f（x）≥g （x）恒成立，
所以a≤h （x）_min＝4．……10分
（III）问题等价于证明xlnx＞

－

（x∈（0，＋∞）），
由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－

，当且仅当x＝

时取到．    
设m （x）＝

－

（x∈（0，＋∞）），则m ′（x）＝

，
易得m （x）_max＝m （1）＝－

，当且仅当x＝1时取到，
从而对一切x∈（0，＋∞），都有lnx＞

－

．                         ……14分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数（I）求函数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。