设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(t∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值s(t)；(2)若s(t)<－2t＋m对t∈

题文

（本小题满分14分）
设函数f(x)＝tx²＋2t²x＋t－1(t∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值s(t)；
(2)若s(t)<－2t＋m对t∈(0,2)时恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(1)∵f(x)＝tx²＋2t²x＋t－1
＝t(x＋t)²－t³＋t－1(t∈R，t>0)，           



3分
∴当x＝－t时，f(x)取得最小值f(－t)＝－t³＋t－1，
即s(t)＝－t³＋t－1.                     

 

6分
(2)令h(t)＝s(t)－(－2t＋m)＝－t³＋3t－1－m.
由h′(t)＝－3t²＋3＝0，                 



8分
得t＝1或t＝－1(舍去)，则有               



10分
t
(0,1)
1
(1,2)
h′(t)
＋
0
－
h(t)
增
极大值
减
∴h(t)在(0,2)内有最大值1－m，                 



12分
∴s(t)<－2t＋m对t∈(0,2)时恒成立等价于h(t)<0恒成立，
即1－m<0，∴m>1.                     



14分

解析

t
(0,1)
1
(1,2)
h′(t)
＋
0
－
h(t)
增
极大值
减

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）设函数f(x)＝tx.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。