题文
（本小题满分14分）若
，
，
，
为常
数，且
（Ⅰ）求
对所有实数成立的充要条件（用
表示）；
（Ⅱ）设
为两实数，
且
,若
求证：
在区间
上的单调增区间的长度和为
（闭区间
的长度定义为
）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（Ⅰ）恒成立
;
（*）
因为
,
所以，故只需
（*）恒成立.
综上所述，
对所有实数成立的充要条件是
. ………4分
（Ⅱ）1°如果
，则的图象关于直线
对称．因为
，所以区间
关于直线
对称．
因为减区间为
，增区间为
，所以单调增区间的长度和为
. ………6分
2°如果
.
（1）当
时.
，
当
，
因为
，所以
，故
=
.
当
，
因为
，所以
，故
=
.
因为
，所以
，所以
即
.
当
时，令
，则
，所以
，
当
时，
，所以
=
;
时，
，所以
=
.
在区间
上的单调增区间的长度和
=
. …………10分
（2）当
时.
，
当
，
因为
，所以
，故
=
.
当
，
因为
，所以
，故
=
.
因为
，所以
，所以
.
当
时，令
，则
，所以
，
当
时，
，所以
=
;
时，
，所以
=
;
在区间
上的单调增区间的长度和
=
.
综上得
在区间
上的单调增区间的长度和为
. …………14分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）若，，，为常数，且（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
