已知函数f(x)="log" a (a>0且a≠1)的图像关于原点对称求m的值；判断函数f(x)在区间上的单调

题文

（本小题满分12分）
已知函数f(x)="log" _a

(a>0且a≠1)的图像关于原点对称
（1）求m的值；  
（2）判断函数f(x)在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明；
（3）当a>1，x∈(t,a)时, f(x)的值域是（1，+∞），求a与t的值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由已知f(-x)="-f(x)" 即log_a

+log_a

="0        " ………………………….1分
∴（1-mx）(1+mx)="(x+1)(1-x)     " 1-m²x²=1-x²                ∴m=

1    …………….3分
当m=1时，

=-1＜0 舍去    ∴ m=-1                                ……………….4分
（2）由（1）得f(x)=log_a



 任取1＜x₁＜x₂
f(x₂)- f(x₁)= log_a

- log_a

= log_a

   
∵1＜x₁＜x₂ ∴(x₂+1)(x₁-1)-(x₂-1)(x₁+1)=2(x₁-x₂) ∴0＜

＜1
当a∈（0,1）时 log_a

＞0，∴f(x₂) ＞ f(x₁),此时f(x)为增函数…7
当a∈（1，+∞）时 log_a

＜0，∴f(x₂)＜ f(x₁) 此时为减函数。.8分            
（3）有（2）知：当a＞1时，f(x)在（1，+∞）为减函数
由

＞0有x＜-1或x＞1∴(t,a)

（1，+∞）        …………………………..9分
即f(x)在(t,a)上递减，∴f(a)="1," ∴a=1+

，且

→+∞，∴t="1" ……………12分
 

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知函数f(x)=".....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。