已知函数在与时都取得极值．若对，不等式恒成立，则的取值范围是( )A．B．C．D．

题文

已知函数

在

与

时都取得极值．若对

，不等式

恒成立，则

的取值范围是(   )A．

B．

C．

D．

题型：未知 难度：其他题型

答案

C

解析

选C
分析：求出f′（x），因为函数在

与x=1时都取得极值，所以得到f′（-

）=0，且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），根据函数的单调性，由于x∈[-1，2]恒成立，只需求出最大值，然后令最大值＜2c，即可求出c的范围．
解答：解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f’（x）=3x²+2ax+b
由

，解得，

．
代回原函数得，f（x）=x³-

x²-2x+c，f’（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：
x
（-1，-
2
3
）
-
2
3
（-
2
3
，1）
1
（1，2]
f′（x）
+
0
-
0
+
f（x）
↑
极大值
↓
极小值
↑
所以函数f（x）的递增区间是（-1，-

）和（1，2]，递减区间是（-

，1）．
当x=-

时，f（x）=

+c为极大值，而f（2）=2+c，f（-1）=

+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜2c，对x∈[-1，2]恒成立，须且只需2+c＜2c．
解得c＞2．
故选C．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数在与时都取得极值．若对，不等式恒.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。