已知函数y=f对任意的实数ab都有：f=f+f﹣1，且x＞0时，f＞1，求证：f是R上的增函数；若f=

题文

已知函数y=f（x）对任意的实数ab都有：f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且x＞0时，f（x）＞1，
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若f（4）=5，求f（2）的值，并解不等式f（3m²﹣m﹣2）＜3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析（2）不等式f（3m²﹣m﹣2）＜3的解集为：{m|﹣1＜m＜

}

解析

（1）设x₁＜x₂，利用函数单调性的定义作差结合已知条件判断符号即可；
（2）利用f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）﹣1=5即可求得f（2）=3，再利用其单调递增的性质脱掉“f”，解关于m的不等式即可．
（1）证明：∵f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且x＞0时，f（x）＞1，
设x₁＜x₂，则x₂﹣x₁＞0，f（x₂﹣x₁）＞1，
∴f（x₂）﹣f（x₁）=f[（x₂﹣x₁）+x₁]﹣f（x₁）=f（x₂﹣x₁）+f（x₁）﹣1﹣f（x₁）=f（x₂﹣x₁）﹣1＞1﹣1=0，
∴f（x）是R上的增函数；
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）﹣1=5，
∴f（2）=3．
∴f（3m²﹣m﹣2）＜3=f（2），又f（x）是R上的增函数；
∴3m²﹣m﹣2＜2，
∴﹣1＜m＜


∴不等式f（3m²﹣m﹣2）＜3的解集为：{m|﹣1＜m＜

}．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查抽象函数的单调性，f（x₂）=f[（x₂﹣x₁）+x₁]是解决的关键，属于中档题

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x）对任意的实数ab都有.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。