题文
已知函数
是定义在
上的奇函数,当
时,
(其中e是自然界对数的底,
)
（Ⅰ）设
，求证：当
时，
；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得当
时，
的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）设
，则
，所以
又因为
是定义在
上的奇函数，所以
故函数
的解析式为
…………………3分
证明：当
且
时，
，设
因为
，所以当
时，
，此时
单调递减；当
时，
，此时
单调递增，所以
又因为
，所以当
时，
，此时
单调递减，所以
所以当
时，
即
……………………6分
（Ⅱ）解：假设存在实数
，使得当
时，
有最小值是3，则
（ⅰ）当
，
时，
．
在区间
上单调递增，
，不满足最小值是３
（ⅱ）当
，
时，
，
在区间
上单调递增，
，也不满足最小值是３
（ⅲ）当
，由于
，则
，故函数
是
上的增函数．
所以
，解得
（舍去）
（ⅳ）当
时，则
当
时，
，此时函数
是减函数；
当
时，
，此时函数
是增函数．
所以
，解得
综上可知，存在实数
，使得当
时，
有最小值３
解析
（Ⅰ）
,设
,证明
，（Ⅱ）
的最小值是3，讨论a的值对函数最小值的影响。
考点
据考高分专家说，试题“已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
