题文
已知函数，
.
(1)求曲线f(x)在点A
处的切线方程；
(II)讨论函数f(x)的单调性;
(III)是否存在实数
，使
当
时恒成立？若存在，求 出实数a;若不存在，请说明理由 题型：未知 难度：其他题型
答案
(Ⅰ)∵ a＞0，
，
∴
=
， …… 2分
于是
，
，所以曲线y = f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为
，即（a－2）x－ay + 1 = 0． ……… 4分
(Ⅱ)∵ a＞0，eax＞0，∴ 只需讨论
的符号． ………… 5分
ⅰ）当a＞2时，
＞0，这时f ′（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．
ⅱ）当a = 2时，f ′（x）= 2x2e2x≥0，函数f（x）在（－∞，+∞）上为增函数．…6分
ⅲ）当0＜a＜2时，令f ′（x）= 0，解得
，
．
当x变化时， f '（x）和f（x）的变化情况如下表：
x
f '（x）
+
0
－
0
+
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在
，
,为增函数,f(x)在
为减函数． …… 9分
(Ⅲ)当a∈（1，2）时，
∈（0，1）．由(Ⅱ)知f（x）在
上是减函数，在
上是增函数，故当x∈（0，1）时，
，……10分
∴
当x∈（0，1）时恒成立，等价于
恒成立．……11分
当a∈（1，2）时，
，设
，则
，表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得
，即a∈（1，2）时
恒成立，……13分 符合条件的实数a不存在．
解析
x
f '（x）
+
0
－
0
+
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，.(1)求曲线f(x)在点A处.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
