题文
已知函数f(x)=
;
(1)求y=f(x)在点P（0,1）处的切线方程；
（2）设g(x)=f(x)+x－1仅有一个零点，求实数m的值；
（3）试探究函数f(x)是否存在单调递减区间？若有，设其单调区间为[t,s],试求s－t的取值范围？若没有，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵点P在函数y=f(x)上，由f(x)=得：
故切线方程为：y=－x+1
(2)由g(x)=f(x)+x－1＝
可知：定义域为
，且g（0）=0,显然x=0为y=g(x)的一个零点；
则
①当m=1时，
，即函数y=g(x)在
上单调递增，g(0)=0,故仅有一个零点，满足题意。
②当m>1时，则
，列表分析：
x
0
+
0
－
0
＋
g(x)
[
极大值
极小值
0
又∵x→－1时，g(x)→－
，∴g(x)在
上有一根，这与y=g(x)仅有一根矛盾，
故此种情况不符题意。
（3）假设y=f（x）存在单调区间，由f(x)=
得：
，
令
∵
，h(－1)＝m+2－m－1＝1＞0，∴h(x)=0在
上一定存在两个不同的实数根s,t,………12分
即,
的解集为（t,s）,即函数f(x)存在单调区间[t,s],则s－t=
,由m≥1可得：s－t
解析
x
0
+
0
－
0
＋
g(x)
[
极大值
极小值
0
考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=;(1)求y=f(x).....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
