题文
定义在
上的函数
，对于任意的m，n∈(0,＋∞)，都有
成立，当x＞1时，
．
(1)求证：1是函数
的零点；
(2)求证：
是(0,＋∞)上的减函数；
(3)当
时，解不等式
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（3）当a＝0时,解集为
；当a＞0时,解集为
；
当a＜0时,解集为
..
解析
（1）赋值法，求得
；（2）注意构造
；
（3）由
等价于
，分类讨论.
解：(1)对于任意的正实数m，n都有
成立，
所以令m＝n＝1，则
．
∴
，即1是函数f(x)的零点． (3分)
(2)设0＜x1＜x2，则由于对任意正数
，
所以
，即
又当x＞1时，
，而
．所以
.
从而
，因此
在(0，＋∞)上是减函数． (7分)
(3)根据条件有
，
所以
等价于
．
再由
是定义在(0，＋∞)上的减函数，所以0＜ax＋4＜4．即
. (9分)
当a＝0时,－4＜0<0不成立，此时不等式的解集为
； (10分)
当a＞0时,－4＜ax＜0，即
，此时不等式的解集为
；
当a＜0时,－4＜ax＜0，即
，此时不等式的解集为
.(12分)
考点
据考高分专家说，试题“定义在上的函数，对于任意的m，n∈(0,.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
