题文
已知函数
（
）．
（1）若
，
在
上是单调增函数，求
的取值范围；
（2）若
，求方程
在
上解的个数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
．
（2）当a≥3时，
≥0，∴g(x)＝0在
上有惟一解．
当
时，
<0，∴g(x)＝0在
上无解．
解析
（1）
然后分别研究
时,
恒成立且
时,
恒成立时b的取值范围即可.
(2) 构造函数
，即
分别研究
和
上的单调性,极值和最值.做出草图，数形结合解决即可
（1）
…………………2分
①当
时，
，
．
由条件，得
恒成立，即
恒成立，∴
． ……………………4分
②当
时，
，
．
由条件，得
恒成立，即
恒成立，∴b≥－2．
综合①，②得b的取值范围是
． ……………6分
（2）令
，即
………………8分
当
时，
，
．
∵
，∴
．则
．
即
，∴
在（0，
）上是递增函数．………………………10分
当
时，
，
．
∴
在（
，＋∞）上是递增函数．
又因为函数
在
有意义，∴
在（0，＋∞）上是递增函数．………12分
∵
，而
，∴
，则
．∵a≥2，
∴
， ……14分
当a≥3时，
≥0，∴g(x)＝0在
上有惟一解．
当
时，
<0，∴g(x)＝0在
上无解
考点
据考高分专家说，试题“已知函数（）．（1）若，在上是单调增函数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
