已知奇函数在上有意义，且在上是增函数，(1)求满足不等式的实数的取值范围；(2)设函数，若集合，集合 ，求

题文

已知奇函数

在

上有意义，且在

上是增函数，


(1)求满足不等式

的实数

的取值范围；
(2)设函数

，若集合

，集合

，求

题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) x < －1或0 < x < 1     (2) {m | m > 4－2

}

解析

(1) f (－1) = －f (1) = 0，又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数，
∴  f (x) 在 (－¥,0) 上也是增函数，
∴ 由 f (x) < 0得x < －1或0 < x < 1.
(2) N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < －1或0 < g(q) < 1}，
M∩N =" {m" | g(q) < －1}……………3分
由g(q) < －1得 sin ²q+ m cos q－2m < －1 Þ cos ²q－m cos q + 2m－2 > 0 恒成立
Þ(cos ²q－m cos q + 2m－2)_min > 0
然后换元构造函数设t = cosq，h(t) = cos ²q－m cos q + 2m－2
= t ²－mt + 2m－2 ,

求其最值即可
(1)依题意，f (－1) = －f (1) = 0，又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数，
∴  f (x) 在 (－¥,0) 上也是增函数，
∴ 由 f (x) < 0得x < －1或0 < x < 1…………… 2分
(2)N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < －1或0 < g(q) < 1}，
M∩N =" {m" | g(q) < －1}……………3分
由g(q) < －1得 sin ²q+ m cos q－2m < －1 Þ cos ²q－m cos q + 2m－2 > 0 恒成立
Þ(cos ²q－m cos q + 2m－2)_min > 0…………………4分
设t = cosq，h(t) = cos ²q－m cos q + 2m－2 = t ²－mt + 2m－2
= (t－

) ²－

+ 2m－2,
∵  cosq∈[－1,1] Þt∈[－1,1]，h(t) 的对称轴为 t =

…5分
1°当

> 1，即 m > 2 时，h(t) 在 [－1,1] 为减函数
∴  h(t)_min =" h(1)" = m－1 > 0 Þm > 1 Þm > 2…………………7分
2°当 －1≤

≤1，即 －2≤m≤2 时，
∴  h(t)_min = h(

) = －

+ 2m－2 > 0 Þ4－2

< m < 4 + 2

 
Þ4－2

< m≤2…………9分
3°当

< －1，即 m < －2 时，h(t) 在 [－1,1] 为增函数
∴  h(t)_min = h(－1) = 3m－1 > 0 Þ m >

无解………………11分
综上，m > 4－2

 Þ M∩N =" {m" | m > 4－2

}……………12分
另解：. 解：依题意，f (－1) = －f (1) = 0，又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数，
∴  f (x) 在 (－¥,0) 上也是增函数，
∴ 由 f (x) < 0得x < －1或0 < x < 1……………… 2分
∴  N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < －1或0 < g(q) < 1}，
M∩N =" {m" | g(q) < －1}…………………3分
由g(q) < －1得 sin ²q+ m cos q－2m < －1 Þ cos ²q－m cos q + 2m－2 > 0 恒成立
Þ(cos ²q－m cos q + 2m－2)_min > 0
设t = cosq，h(t) = cos ²q－m cos q + 2m－2 = t ²－mt + 2m－2 = (t－

) ²－

+ 2m－2
∵  cosq∈[－1,1] Þt∈[－1,1]，h(t) 的对称轴为 t =

，△= m ²－8m + 8 …4分
1°当 △< 0，即 4－2

< m < 4 + 2

时，h(t) > 0 恒成立.…………………6分
2°当 △≥0，即 m≤4－2

或 m≥4 + 2

时，………7分
由 h(t) > 0 在 [－1,1] 上恒成立
∴ 

Þ m≥2 Þ m≥4 + 2

………………11分
综上，m > 4－2

 Þ M∩N =" {m" | m > 4－2

}

考点

据考高分专家说，试题“已知奇函数在上有意义，且在上是增函数，(.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。