已知a＞0，bR，函数．(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，(ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成

题文

已知a＞0，b

R，函数

．
(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，
(ⅰ)函数

的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ)

＋|2a－b|﹢a≥0；
(Ⅱ) 若﹣1≤

≤1对x

[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ) 见解析；
(Ⅱ)

．

解析

本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。
(Ⅰ)
(ⅰ)

．
当b≤0时，

＞0在0≤x≤1上恒成立，
此时

的最大值为：

＝|2a－b|﹢a；
当b＞0时，

在0≤x≤1上的正负性不能判断，
此时

的最大值为：


＝|2a－b|﹢a；
综上所述：函数

在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) 要证

＋|2a－b|﹢a≥0，即证

＝﹣

≤|2a－b|﹢a．
亦即证

在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，
∵

，∴令

．
当b≤0时，

＜0在0≤x≤1上恒成立，
此时

的最大值为：

＝|2a－b|﹢a；
当b＜0时，

在0≤x≤1上的正负性不能判断，






≤|2a－b|﹢a；
综上所述：函数

在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．
即

＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数

在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，
且函数

在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．
∵﹣1≤

≤1对x

[0，1]恒成立，
∴|2a－b|﹢a≤1．
取b为纵轴，a为横轴．
则可行域为：

和

，目标函数为z＝a＋b．
作图如下：
由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有

，

．
∴所求a＋b的取值范围为：

．

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞0，bR，函数．(Ⅰ)证明：当0.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。