题文
（12分）已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R.
（1）求m与n的关系式；
（2）求f(x)的单调区间；
（3）当x∈[-1,1]时，m<0，函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）当
时，
在
单调递减，在
单调递增，在
上单调递减.
当m>0时，f(x)在(1+
)及(-
，1)上单调递增；在(1，1+
)上单调递减 .
（3）
的取值范围为
解析
近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合解：(I)
因为
是函数
的一个极值点,所以
,即
，所以
（II）当m=0时，
上为增函数，在(6，+
)上为减函数
当m≠0时，
=
当
时，有
，当
变化时，
与
的变化如下表：
1
0
0
调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故由上表知，当
时，
在
单调递减，在
单调递增，在
上单调递减.
当m>0时，f(x)在(1+
)及(-
，1)上单调递增；在(1，1+
)上单调递减 .
（III）由已知得
，即
又
所以
即
①
设
，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以
解之得
又
所以
即
的取值范围为
考点
据考高分专家说，试题“（12分）已知x=1是函数f(x)=mx.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
