题文
已知
．
（１）求
的单调区间；
（２）证明：当
时，
恒成立；
（３）任取两个不相等的正数
，且
，若存在
使
成立，证明：
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
见解析解析
（1）g(x)=lnx+
，
=
（1’）
当k
0时，
>0，所以函数g(x)的增区间为（0，+
），无减区间；
当k>0时，
>0,得x>k；
<0，得0
）减区间为（0，k）（3’）
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x
1)令
= lnx-1=0得x="e," 当x变化时，h(x),
的变化情况如表
x
1
(1,e)
e
(e,+
)
－
0
+
h(x)
e－2
↘
0
↗
所以h(x)
0, ∴f(x)
2x-e （5’）
设G(x)=lnx-
(x
1)
=
=
0,当且仅当x=1时,
=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x)
G(1)="0," 所以lnx-
0所以xlnx
(x
1)成立,所以f(x)
,综上,当x
1时, 2x-e
f(x)
恒成立.
(3) ∵
=lnx+1∴lnx0+1=
=
∴lnx0=
-1
∴lnx0–lnx
=
-1–lnx
=
=
=
(10’)
设H(t)=lnt+1-t(0
=
=
>0(0
∴
=
∴lnx0 –lnx
>0, ∴x0>x
考点
据考高分专家说，试题“已知．（１）求的单调区间；（２）证明：当.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
