题文
设函数
（
），
．
（Ⅰ）关于
的不等式
的解集中的整数恰有3个，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）对于函数
与
定义域上的任意实数
，若存在常数
，使得
和
都成立，则称直线
为函数
与
的“分界线”．设
，
，试探究
与
是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
． （Ⅱ）
．
解析
(1)解本题的关键是把不等式解集的问题转化为函数零点的分布问题.把函数代入
整理得
构造结合
二次函数的性质得一个零点在区间
，则另一个零点必在
内，所以
解得
；也可以分解因式确定解集的端点解得.前提都要保证
.
（2）
与
是否存在“分界线”要先看是否存在公共点，构造函数
研究单调性可求出
与
有公共点
，所以分界线必过点
设出“分界线”方程为
，
证明
在
恒成立，求出
.然后证明
恒成立．即可得到所求“分界线”方程为：
（Ⅰ）解法一:不等式
的解集中的整数恰有3个，
等价于
恰有三个整数解，故
，
令
，由
且
，
所以函数
的一个零点在区间
，
则另一个零点一定在区间
， …………4分
故
解之得
． ………………6分
解法二：
恰有三个整数解，故
，即
，
，
所以
，又因为
， …………4分
所以
，解之得
． ……………6分
（Ⅱ）设
，则
．
所以当
时，
；当
时，
．
因此
时，
取得最小值
，
则
与
的图象在
处有公共点
．………8分
设
与
存在 “分界线”，方程为
，
即
，
由
在
恒成立，
则
在
恒成立 ．
所以
因此
． ………11分
下面证明
恒成立．
设
，则
．
所以当
时，
；当
时，
．
因此
时
取得最大值
，则
故所求“分界线”方程为：
．
考点
据考高分专家说，试题“设函数（），．（Ⅰ）关于的不等式的解集中.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
