设函数求的单调区间；若函数无零点，求实数的取值范围.

题文

设

函数


（I）求

的单调区间；
（II）若函数

无零点，求实数

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）当

时，

，

单调递增；当

时，若

，

，

单调递增；若

，

，

单调递减；
（Ⅱ）实数

的取值范围是

解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解函数 单调区间和函数的零点的概念的综合运用。
（1）先求解定义域然后求解导数，分析导数的符号，得到单调区间，注意对于参数a的分类讨论。
（2）根据第一问的结论可知当a在不同范围的时候，可以判定函数单调性，进而确定是否有零点的问题。解：因为



函数

的定义域为

，
且

，
（I）当

时，

，

单调递增；…………3分
当

时，若

，

，

单调递增；
若

，

，

单调递减；…………………………6分
（Ⅱ）①由（I）知当

时，

在

上单调递增
又




函数

在区间

上有唯一零点…………………………8分
②当

时，

有唯一零点

…………………………9分
③当

时，

在

上是增函数；在

上是减函数；
故在区间

上，

有极大值为

…………………11分
由

，即

，解得：

……………………………13分
故所求实数

的取值范围是

考点

据考高分专家说，试题“设函数（I）求的单调区间；（II）若函数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。