题文
（本小题满分14分）已知函数
.
（Ⅰ）若函数
在定义域内为增函数，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）当
时，试判断
与
的大小关系，并证明你的结论；
(Ⅲ) 当
且
时，证明：
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）的取值范围为
.（Ⅱ）当
时，
.
(Ⅲ)见解析.
解析
（I）求函数.的导数，注意定义域，令导函数大于或等于0，分离参数
，令一端配方求出最值即得
的范围；（II）由（Ⅰ）可知：
时，
，
（当
时，等号成立），令
，则
取
两边分别相加整理即得结论；（III）由（2）知，当
，令
求导可得最小值
，所以
时，
（当且仅当
时，等号成立），令
，则
，所以
,
,因而可得
,所以
, 所以
,然后不等式累加证明即可.
（Ⅰ）
，函数
的定义域为
.
.
依题意，
在
恒成立，
在
恒成立.
，
，∴
的取值范围为
. ……………………………………………………… （4分）
（Ⅱ）当
时，
.
证明：当
时，欲证
，只需证
.
由（Ⅰ）可知：取
，则
，
而
，
（当
时，等号成立）.
用
代换
，得
，即
，
∴
.
在上式中分别取
，并将同向不等式相加，得
.
∴当
时，
. ………………………………………… （9分）
(Ⅲ)由（Ⅱ）可知
（
时，等号成立）.
而当
时：
，∴当
时，
.
设
，则
，
∴
在
上递减，在
上递增，
∴
，即
在
时恒成立.
故当
时，
（当且仅当
时，等号成立）. …… ①
用
代换
得：
（当且仅当
时，等号成立）. …… ②
当
时，由①得
，
.
当
时，由②得
，用
代换
，得
.
∴当
时，
，即
.
在上式中分别取
，并将同向不等式相加，得
.
故当
且
时，
. …………………………………………………（14分）
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数. （Ⅰ）若.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
