题文
(本题13分)设,
,函数
,
(1)设不等式
的解集为C,当
时,求实数
取值范围;
(2)若对任意
,都有
成立,求
时,
的值域;
(3)设
,求
的最小值. 题型:未知 难度:其他题型
答案
(1)(2)
(3)
解析
本试题主要是研究二次函数的 性质的运用。利用函数的单调性和不等式的知识的综合运用得到。(1)根据不等式的解集得到C,然后利用集合的并集和集合间的关系得到实数m的范围
(2)根据对于任意的实数都有函数式子成立,说明函数的对称轴x=1,然后得到解析式,从而求解给定区间的值域。
(3)利用给定的函数,结合二次函数的图像与性质得到最值。
解:(1)
,因为
,
图像开口向上,
且
恒成立,故图像始终与
轴有两个交点,由题意,要使这两个交点横坐标
,当且仅当:
,………3分,解得:
……4分
(2)对任意
都有
,所以
图像关于直线
对称,所以
,
得
.所以
为
上减函数.
;
.故
时,
值域为
6分(3)令
,则
(i)当
时,
,当
,
则函数
在
上单调递减,从而函数
在
上的最小值为
.
若
,则函数
在
上的最小值为
,且
(ii)当
时,函数
,若
,
则函数
在
上的最小值为
,且
,若
,
则函数
在
上单调递增,
从而函数
在
上的最小值为
.…………………………1分
综上,当
时,函数
的最小值为
,当
时,
函数
的最小值为
当
时,函数
的最小值为
. 13分GH
考点
据考高分专家说,试题“(本题13分)设,,函数,(1)设不等式.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义:
1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间
3、最值的定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值
判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:
(1)定义法:其步骤是:
①任取x1,x2∈D,且x1<x2;
②作差f(x1)-f(x2)或作商
,并变形;
③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较
与1的大小;
④根据定义作出结论。
(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。
(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。